피겨 스케이팅에서의 각운동량 보존의 법칙 - 생활/유소년/노인 스포츠지도사

피겨 스케이팅 선수는 팔과 다리, 그리고 몸통을 움직여서 도는 속력을 변화시킨다. 얼음판과 스케이트 날 사이의 마찰과 공기의 마찰을 무시하면 왼편과 오른편 그림 두 경우의 각운동량은 같다. 그러나 오른편에서 빨리 돌 때 선수의 회전 운동 에너지는 더 크다. 

선수는 어떻게 자신의 운동 에너지를 증가시킬 수 있을까?

(출처: http://phylab.yonsei.ac.kr/board.php?board=reference&command=body&no=16)

각운동량 보존 법칙

직선 운동에서는 선운동량의 시간에 대한 변화가 힘(force)이었다. 그래서 외부로부터 힘이 작용하지 않으면, 선운동량은 시간에 따라 변하지 않으며 선운동량이 보존된다.

마찬가지로 각운동량의 시간에 대한 변화는 회전운동과 관련된 모종의 힘이라고 할 수 있다. 이 힘을 돌림 힘(토크, torque)이라고 한다. 돌림 힘은 회전운동의 원인으로 외부에서 돌림 힘을 가하지 않으면, 각운동량의 시간에 대한 변화가 없고, 그 결과 각운동량은 보존된다.

질량 m인 물체가 어떤 회전의 중심으로부터 r만큼 떨어져 선속도 v로 운동하고 있다면, 이 물체의 각운동량 L은 다음과 같이 주어진다.

L = rmv

그런데 회전운동에서는 선속도(v) 보다는 각속도(ω)를 더 즐겨 사용한다. 각속도는 각도가 시간에 따라 얼마나 빨리 변하는가를 나타내는 값이다. 예를 들어 자동차 계기판에서 볼 수 있는 rpm 계기판은 엔진의 회전수를 나타내는 각속도로서 분당 회전수(revolution per minute)를 의미한다. 각도는 기본적으로 호의 길이에 대한 반지름의 비율로 주어지며, 호의 길이의 시간에 대한 변화가 선속도이므로 선속도와 각속도 사이에는 v=rω의 관계가 있다. 이 관계를 이용해서 각운동량을 각속도로 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

L = rmv = (mr²)ω = Iω

여기서 I=mr²은 회전관성(moment of inertia)으로 불리는 양이다. 선운동량이 p=mv인 것과 비교하면, 회전관성은 회전운동에서 일종의 질량의 역할을 하는 물리량이다. 회전관성이 크면 같은 힘으로 돌려도 각속도가 크게 나오지 않는다. 각운동량이 보존된다는 말은 쉽게 얘기해서 L=Iω의 값이 항상 일정하게 유지된다는 말이다.

(출처: http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=20&contents_id=1858&leafId=20)

스핀에 대한 각운동량 보존 법칙의 적용

각운동량 보존 법칙에 따르면, 회전하는 물체가 회전 중심과의 거리가 가까워지면 각속도가 커져 그만큼 빠르게 회전하게 된다.

피겨스케이트를 하는 사람이 팔 다리를 회전 중심인 몸에 가까이 오므리면 이전보다 빠르게 회전하는 것도 각운동량이 보존되기 때문이다.

(출처: http://study.zum.com/book/14832)

1) 스핀과 관련된 각운동량 보존의 법칙

다양한 스핀은 각운동량의 생성과 보존의 법칙이 적용된다. 각운동량의 보존은 외부에서 주어지는 힘이 없이도 물체의 각운동량을 지속적으로 유지하려는 것이다. 피겨스케이터가 공중에 있을 때 스케이터는 질량의 중심으로 회전하고, 일정한 양의 각운동량이 발휘된다. 이 때 주어지는 외부의 힘은 중력으로서 스케이터의 질량 중심에 하향 수직으로 작용한다. 중력은 스케이터의 회전축에 작용하기 때문에 토크가 없다면 스케이터의 각운동량은 변할 수 없다.

각운동량의 보존을 파악하기 위한 가장 효과적인 방법은 회전의자에 간단한 작용을 해보는 것이다. 지금 회전의자에 앉아서 회전을 해보자. 회전하고 있는 동안 회전하기 위한 푸시로부터 획득된 각운동량의 양을 알 수 있을 것이다. 의자와 함께 회전하고 있는 동안 팔을 몸 옆으로 들어보자 천천히 감속할 것이다. 팔을 들어서 발행하는 회전 속도의 감속은 무엇을 의미하는가?

팔을 들었을 때, 회전속도는 감소할 것이고, 팔을 내리면 속도는 증가할 것이다.

이러한 현상의 논리는 만약 의자에 마찰이 없다면 회전은 영원히 지속될 것이라는 것이다(멈추기 위한 외부의 힘이 주어지지 않았을 때). 이론적으로 멈추기 위한 방법은 손이나 발을 이용하여 벽이나 지면에 힘을 가하는 것이다. 따라서 회전하는 의자에 앉아 있는 것은 각운동량의 보존이다. 이러한 의미는 만약 팔을 들어 올리는 것에 의하여 관성모멘트가 증가한다면 각속도는 각운동량을 일정하게 지속하기 위한 반대방향으로 감소한다.

2) 스핀을 위한 각운동량의 생성

물체는 일반적이지 않은 각운동량을 가지고 있다. 뉴턴의 제 1법칙은 움직임을 유지하기 위한 물체의 움직임 경향이다. 그래서 만약 피겨스케이터가 아이스에서 똑바로 스케이팅을 하고 있다면 공중에서 여러 회전 점프 또는 회전을 실행하기 위해서는 각운동량을 생성해야 한다. 각운동량은 아이스에 힘을 가하는 스케이터에 의해서 생성된다. 아이스에 힘을 가하게 되면 스케이터에 대해 지면반력이 생성된다. 이 지면반력은 스케이터에게 각운동량을 주는 원인이 된다.

이러한 힘의 작용선과 응용 지점은 비판적이다. 만약 힘의 작용선이 스케이터의 회전축을 직접 통과한다면 스케이터는 회전할 수 없다. 힘은 토크 또는 모멘트의 원인임에 틀림없다. 이것의 의미는 회전의 축으로부터 조금의 거리가 있어야 하고 회전의 축을 통과한다면 회전할 수 없다.

힘이 크거나 회전축으로부터 힘이 멀리서 작용하면 각운동량은 증가한다. 각운동량의 생성에서 다른 중요한 고려사항은 물체의 관성모멘트이다. 큰 물체의 관성모멘트는 물체의 더 큰 각운동량을 획득할 수 있다. 예를 들어, 만약 피겨스케이터가 많은 각운동량을 생성하길 원한다면 관성모멘트를 증가시키기 위해 팔을 넓게 펼쳐야 한다. 이 시점에서, 스케이터는 회전을 하기 위한 큰 토크를 가질 것이다.

H = Iω (이 공식에서 H는 각운동량, I는 회전관성, ω는 각속도이다.)

스케이터가 팔을 옆에 붙이고 같은 각속도로 회전을 시작하면 더 낮은 각운동량을 가질 것이다. 더욱이, 이 스케이터는 회전의 속도를 증가시킬 수 없다. 왜냐하면 각속도를 증가시키기 위한 관성모멘트를 감소시킬 수 없기 때문이다. 다시 말해서, 회전의 시작을 팔을 몸통 옆으로 들고 회전을 시작한 후 팔을 천천히 내리면 각속도가 증가하여 피겨스케이터의 회전 속도는 증가하게 된다. 더 큰 관성모멘트는 물체의 회전을 시작하기 위해 필요하다. 따라서 각운동량이 생성될 때 각속도와 관성모멘트 간에 균형이다. 피겨스케이팅에서 스케이터는 회전의 시작을 위해 충분한 토크 생산에 대한 문제는 일반적으로 없다. 그들은 팔과 다리를 이용하여 회전을 수행한다.

(출처: 체육지도자 훈련지도서 [피겨스케이팅], 국민체육진흥공단 체육과학연구원, 2010)

 

점프에 대한 각운동량 보존 법칙의 적용

김연아의 ‘명품 점프’는 빠른 스피드 덕에 만들어진다. 빠르게 달리는 김연아는 애초에 선운동량이 크다. 회전하는 물체의 운동량을 ‘각운동량’이라고 하는데, 다른 선수들이 점프에 대한 부담감으로 주춤할 때 그녀는 선운동량을 그대로 각운동량으로 전환한다. 두 팔을 한쪽으로 감았다가 펼치거나, 미리 반바퀴를 돌아 회전 효과를 얻는다.

 

 

한 발을 얼음 위에 찍고 도약하면, 최대한 관성모멘트를 줄여야 빨리 회전할 수 있다. 관성모멘트란 회전에 대한 저항성이다. 질량이 회전축에 가깝게 모일수록 관성모멘트가 작아지고, 멀리 분포할수록 관성모멘트가 커진다. 즉 팔과 다리를 몸의 무게중심에 최대한 가깝게 오므려야 하는 것이다. 착지할 때는 팔과 다리를 벌려 관성모멘트를 크게 만들어서 회전을 멈춘다.

실제로는 관성모멘트를 마음대로 조절하기가 쉽지 않다. 김찬주 이화여대 물리학과 교수는 “최대 원심력이 중력의 네 배까지 생기기 때문에 공중에서 팔을 오므리거나 벌리는 게 어렵다”며 “팔을 오므리는 시점에 따라 점프와 회전이 다르게 보이는데, 김연아는 가장 아름다운 점프를 만드는 최적의 타이밍을 잘 아는 선수인 것 같다”고 말했다.

(출처: http://www.dongascience.com/news/view/3698)